?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry Поделиться Next Entry
Воскресное развлечение для любителей подумать над задачей
trim_c

7 геометрических задач, которые можно (и нужно) решать в уме


Обычно геометрические задачи подразумевают строгие чертежи. Блогер и математик Катриона Ширер придумывает визуально привлекательные задачки, для которых не нужны чертежи. Достаточно внимательно посмотреть на картинку, вспомнить один-два факта из планиметрии, и решение найдется. С разрешения Ширер предлагаем нашим читателям испытать себя в решении этих задач.

1. Радиусы желтых кругов одинаковы. Треугольник на картинке равносторонний. Какую долю от большого круга занимают суммарно желтые круги?




2. Радиус каждого полукруга равен пяти. Чему равна площадь заштрихованной желтым фигуры по отношению к розовому квадрату?




3. На плоскости отмечено по вертикали 10 точек. Расстояния между соседними точками равно 4. Спирали составлены из полуокружностей, соединяющих отмеченные точки. Какая из двух фигур — красная или желтая — больше по площади?



4. Черные точки — середины меньших сторон прямоугольников. Все прямоугольники равны и площадь каждого равна четырем. Какова площадь, занимаемая всеми тремя прямоугольниками?




5. Треугольник на картинке равносторонний. Какую часть от площади описанного круга занимает заштрихованная желтым часть?




6. Какую долю от площади большого квадрата занимают закрашенные квадраты, если все четыре — одинаковые?




7. Какая часть квадрата закрашена, если все пять розовых прямоугольников одинаковы?






[Ответы]
1. 1/4

2. 1/2

3. Красный

4. 9

5. 11/16

6. 2/5

7. 5/8

Метки:


  • 1
неудачные задачи и бессмысленная публикация
В ответах нет пути решения.
Для школьников, которые изучают планиметрию, если такие еще есть, подойдут как разминка "на кружке" для тех, кто планиметрию учил ХЗ когда - бесполезны.

Фактически только на 4-й можно дать ответ без знания теорем, и то - это в общем-то НЕ геометрическая задача. Ну, может быть еще 1, 2 визуально угадать.
Остальные - надо таки знать/помнить основы планиметрии

Уверяю вас нет. Во всех нужно прежде всего понимать что такое подобие. да еще теорему Пифагора и правильны треугольник.

Публиковать пути решения поленился.

но 3-й и второй вообще никаких знаний не предполагают

1-й, 5-й знание правильного треугольника 7-й - теорема Пифагора,6-й теорема Пифагаора и подобие.

Вот и весь набор нужных знаний

//но 3-й и второй вообще никаких знаний не предполагают
Серьезно? Ну и почему? Сформулируйте, плиз.

//7-й - теорема Пифагора,
Ну да, ВЫБРАТЬ из трех ответов она поможет.
У меня вот получилось 1/2 + ав/(а+в)^2 . Так? Или где-то лажанулся? Ну и что дальше? какое решение? Ответ 5/8 понятен методом исключения, но...

1-й И как здесь без построений (или знаний каких-то теорем) ДОКАЗАТЬ, что радиус меньшего круга в 4 раза меньше большого? По графику то видно, безусловно, но это ведь НЕ РЕШЕНИЕ.

Я понимаю, что с учетом того, что вы всю жизнь занимались математикой, вы все эти мелочи помните "на уровне спинного мозга" :)). Моя мама, проработавшая почти 40 лет учительницей математики в школе, в свои 80 лет на досуге решала олимпиадные задачи и немного огорчалась, что уже не все может решить.

Но это же не значит, что все помнят КУРС школьной математики и (ЭТО ГЛАВНОЕ!!!!) помнят ОПЫТ его ПРИМЕНЕНИЯ к решению задач ДАЖЕ У КОГО ОН БЫЛ!

Вот для таких совсем не помешали бы решения этих задачек.

ПыСы
Небольшая зарисовка насчет опыта применения знаний:
Когда моя сестра поступала в пед. на математику в далеком 80-м, отец, стоя возле института услышал чудный диалог. Одна абитуриентка у другой спрашивала
- а задачи на экзамене одноформульные или двухформульные?
- ?????
- Ну для получения ответа надо данные подставить в одну формулу или сначала в одну, а полученные из нее данные в другую?

И, кстати, обе поступили. Ибо спрашивающая была из села и шла по льготам.

Вот такие вот "пироги с котятами". :))

Н у конечно это для любителей

стороны прямоугольника равны a и b. Площадь квадарат с диагональю Х равна Х**2/2
Тогда два больших белых полуквадрата составляют квадрат с площадью a**2/2, а два маленьких полуквадрата - b**2/2. Получаем
(a + b)**2 = a**2/2 +b**2/2 + 5ab. Его можно переписать как 2(a + b)**2 = a**2 +b**2 + 10ab; (a + b)**2 = 8ab. Таким образом, площадь красного прямоугольника составляет 1/8. Значит, площадь пяти прямоугольников равна 5/8.

Edited at 2019-01-13 15:27 (UTC)


Это правильный треугольник просто из симметрии картинки ясно, что центр треугольника совпадает сцентром центрального малого круга.Соедините мысленно центр с вершиной и опустите из центра и из центра малого правого круга правого перпендикуляры на основание. У вас два прямоугольных треугольника с углом 30 градусов - малый катет ровно половина гипотенузы.

Тогда гипаотенуза маленького два малых радиуса, от центра малого до Центра - еще два малых радиуса, гипотенуза большого 4 малых радиуса.

ну да.
На "своем пути" я таки свернул не туда - вместо уравнения стал считать. Потом увидел.
Но бумага и карандаш таки потребовались. :)

практика. Все дело в практике.
Когда я лет 8 назад взял в руки свой диссер по физике, я не понял добрую четверть того, что сам написал в 90-м году... Наука измен не прощает. :)

Радиус большого круга равен 4 радиусам малого.

Отсюда Площадь большого круга - (4R)(4R)π = 16 R*Rπ
4 малых кругов - 4 R*Rπ
Отношение первого ко второму = 4

  • 1