trim_c (trim_c) wrote,
trim_c
trim_c

Category:

Март, четырнадцатое


Каждый год 14 марта редакция N+1 публикует материал, посвященный числу 𝞹.На этот раз по просьбе N + 1 математик Владимир Потапов рассказал о том, как число 𝞹 можно вычислить математическим путем, с помощью различных — подчас необычных — формул.

Я не буду воспроизводить все формулы, которые привел Потапов, в основном они получены из разложений в ряды тригонометрических функций, приведу только две. Но главное, что на мой взгляд интересно и поучительно, - это схема, придуманная Архимедом. Она характерна именно для греков, которые сложные задачи вычислений сводили к геометрии, поскольку в геометрии им удалось продвинуться очень серьезно, они создали по сути первую в истории человечества аксиоматическую теорию, которая потом две тысячи лет служила непревзойденным образцом


Еще в древности люди заметили, что отношение длины окружности к ее диаметру близко к трем, но не точно три, а чуть больше. Причем это отношение не зависит ни от диаметра окружности, ни от места, где она проведена. В те времена это отношение, названное впоследствии числом 𝞹, не сильно выделялось из множества других чисел, которые можно определить опытным путем. Таких, как отношение диагонали квадрата к его стороне или отношение площадей квадрата и равностороннего треугольника с такой же, как у квадрата, стороной.

Отцом числа 𝞹 следует считать Архимеда, которого называют автором удивительных открытий, что отношение 𝞹 не приближенно, а в точности связывает не только диаметр и длину окружности, но и площадь круга и квадрат его радиуса, объем шара и куб его радиуса и даже площадь сферы и квадрат ее радиуса. То есть Архимед доказал известные всем со школы формулы (длина окружности, площадь круга, объем шара и площадь сферы):




Архимеду принадлежит также первая не опытная, а теоретическая (методом построения описанных и вписанных в круг многоугольников) оценка числа 𝞹: 3 + (10/71) < 𝞹 < 3 + (1/7). То есть он нашел первые три десятичные цифры числа 𝞹 = 3,14..., что и определило сегодняшнюю дату.



Впоследствии математики поняли, что число 𝞹 связывает объем многомерного шара и степень его радиуса при любой размерности пространства (с рациональным множителем, уже зависящим от размерности: для 2х измерений это 1, для 3х измерений — 4/3). Таким образом, число 𝞹 не изменится даже для исследователей, живущих в пространствах с другим числом измерений.

Оказывается, число 𝞹 неожиданно возникает просто из натурального ряда чисел. Английский математик Джон Валлис, старший современник Исаака Ньютона, открыл удивительную формулу:


Многоточие в конце формулы означает, что если мы перемножим достаточно много четных чисел в числителе и нечетных в знаменателе, то получим результат, сколь угодно близкий к числу 𝞹/2.

Еще более удивительную для непосвященных формулу с участием числа 𝞹 вывел великий математик Леонард Эйлер, бóльшую часть своей долгой научной карьеры проработавший в Петербургской академии наук:



Конечно, спору нет формула Эйлера, связывающая три "удивительных числа" e,i, и 𝞹, при чем числа, по видимости никак между собой не связанные, появившиеся в совершенно разных разделах математики, анализе, алгебре и геометрии, и из которых составилась единица - главное число вообще - изумляет своей неожиданностью, простотой и красотой.

Но для меня тут самое замечательное - способ, который придумал Архимед для вычисления числа 𝞹 с любой наперед заданной точностью, мне кажется, что ни один математик не грек такого бы не придумал (конечно и Европа, но она две тысячи лет подражала грекам и только после Ньютона и Эйлера избавилась от чар Евклида).
Tags: n+1
Subscribe

Recent Posts from This Journal

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 5 comments